Różnica między drogą a przemieszczeniem – przykłady

Torem ruchu jest odcinek o długości 10 m, a ponieważ droga to długość toru ruchu, więc też wynosi ona 10 m. Przemieszczenie jest wektorem łączącym punkty początkowy i końcowy (w tym przypadku start z metą), długość tego wektora ma zatem również 10 m.

Piłka najpierw przebywa 5 m w stronę ściany, potem jeszcze 4 m w Twoją stronę. Całkowita droga pokonana przez piłkę ma więc 9 m. Inaczej ma się sprawa z przemieszczeniem, ponieważ od miejsca początku ruchu do miejsca zakończenia ruchu jest tylko 1 m, tyle też wynosi wartość przemieszczenia.

Obwód koła możemy obliczyć ze wzoru $L=2\pi r=\pi d$, gdzie $r$ to promień, a $d$ to średnica. Mamy zatem:
$L=\pi \cdot 55 \text{m} \approx 172,8 \text{m}$
Wagonik zakreślił 2,5 okrążenia, zatem aby obliczyć drogę, musimy pomnożyć obwód razy 2,5:
$s=2,5L\approx432 \text{m}$
Co z przemieszczeniem? Po każdym okrążeniu wagonik znajduje się z powrotem w tym samym położeniu, więc dwa pełne okrążenia dają ten sam efekt. Wykonanie połowy okrążenia wiąże się jednak ze zmianą położenia. Na przykład jeśli wagonik znajdował się w najniższym punkcie toru, po zakreśleniu połowy okrążenia znajdzie się w najwyższym punkcie. Odległość między tymi punktami jest równa średnicy koła i odpowiada wartości przemieszczenia, zatem:
$\Delta r=d=55 \text{m}$

Na początku warto wykonać rysunek, który zilustruje opisaną sytuację. Powyżej zamieszczone są dwa rysunki, jeden z zaznaczoną drogą $s$, drugi z zaznaczonym przemieszczeniem (a właściwie odcinkiem o długości odpowiadającej wartości wektora przemieszczenia) $\Delta r$.
Zajmijmy się najpierw drogą. Stanowi ona fragment okręgu o promieniu równym długości wahadła $l=50 \text{cm}=0,5 \text{m}$. Cały okrąg wiązałby się z zakreśleniem przez linkę kąta $360^\circ$, w opisanym przykładzie został zakreślony kąt $2 \alpha=20^\circ$. Stosunek pokonanej drogi $s$ do obwodu całego okręgu jest taki, jak stosunek zakreślonego kąta do kąta pełnego.
$\frac{s}{2 \pi l}=\frac{20^\circ}{360^\circ}$
$s=\frac{20^\circ}{360^\circ}2 \pi l=\frac{1}{9}\pi l \approx 0,175 \text{m}$
Jeśli chodzi o przemieszczenie, to możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, który tworzą wychylona nić (przeciwprostokątna), pion i połowa przemieszczenia. Stosunek połowy przemieszczenia do długości nici stanowi sinus kąta $\alpha$.
$\sin \alpha=\frac{\frac{\Delta r}{2}}{l}$
$\Delta r=2l \sin \alpha=2 \cdot 0,5 \text{m} \cdot \sin{10^\circ}\approx0,174 \text{m}$
Zauważmy, że różnica między drogą a przemieszczeniem wyszła naprawdę niewielka, wynosi tylko około $1\text{mm}$. Przy tak małym kącie wychylenia długość łuku jest tylko nieznacznie większa niż długość jego cięciwy.