Obliczanie przyspieszenia bez podanego czasu

Przekształcenia:
$a=\frac{v-v_0}{t} \Bigg| \cdot t$
$at=v_0-v \Big|:a$
$t=\frac{v-v_0}{a}$
$s=v_0 t + \frac{at^2}{2}=\frac{v_0(v-v_0)}{a}+\frac{a(v-v_0)^2}{2a^2}=\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}=$
$=\frac{2v_0v-2v_0^2}{2a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}=\frac{2vv_0-2v_0^2+v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$
$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \Bigg|\cdot a$
$sa=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Bigg|: s$
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}$

Obliczenia:
$a=\frac{\Big(25 \frac{\text{m}}{\text{s}}\Big)^2-\Big(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\Big)^2}{2\cdot 50 \text{m}}=\frac{625 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}-25 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{100\text{m}}=\frac{600 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{100\text{m}}=\underline{6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

Treść zadania jest dość prosta. Znamy wartość prędkości początkowej $v_0$ i końcowej $v$ oraz drogę $s$, na której nastąpiła zmiana wartości prędkości. Sekcja z danymi wygląda zatem następująco:
Dane:
$s=50 \text{m}$
$v_0=5 \frac{\text{m}}{\text{s}}$
$v=25 \frac{\text{m}}{\text{s}}$
Szukaną przez nas wielkością jest przyspieszenie $a$ motorówki w opisanej sytuacji. Zakładamy, że było ono stałe i do rozwiązania zadania wykorzystamy zależności opisujące ruch jednostajnie przyspieszony.

Przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym opisuje tempo zmiany prędkości w czasie:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$
W naszej sytuacji zmiana prędkości $\Delta v$ to po prostu różnica między końcową a początkową wartością prędkości:
$\Delta v=v-v_0$,
natomiast rozważany przedział czasu $\Delta t$ możemy wyrazić po prostu jako czas trwania przyspieszania $t$. Mamy zatem
$a=\frac{v-v_0}{t}$
Problem w tym, że zamiast czasu mamy podaną drogę. Znamy zależność między drogą a czasem w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
$s=v_0 t + \frac{at^2}{2}$
Naszym punktem wyjścia są więc dwa równania, w których występują dwie niewiadome – czas i przyspieszenie. Z matematycznego punktu widzenia to nic innego układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. W tym momencie może pojawić się pokusa podstawienia wartości liczbowych, ale ja nie polecam tej drogi. Zrobimy to porządnie, jak fizycy.
Polecenie jasno wskazuje, że mamy obliczyć przyspieszenie, a nie czas. Możemy więc wykorzystać jedno równanie, aby wyznaczyć z niego czas i otrzymaną formułę wstawić do drugiego równania. Ponieważ we wzorze na drogę czas występuje w drugiej potędze, lepszym wyborem będzie wyznaczenie go ze wzoru na przyspieszenie. Czas jest w mianowniku, zatem najpierw mnożymy równanie obustronnie przez $t$:
$a=\frac{v-v_0}{t} \Bigg| \cdot t$
Następnie dzielimy obustronnie przez $a$, aby dostać gotowy wzór na $t$:
$at=v_0-v \Big|:a$
$t=\frac{v-v_0}{a}$
Wyrażenie z prawej strony podstawiamy w miejsce $t$ do wzoru na drogę. W ten sposób w jednym równaniu będziemy mieć drogę, przyspieszenie, prędkość początkową i końcową, czyli wszystkie wielkości występujące w treści zadania. Po podstawieniu trzeba wykonać jeszcze trochę przekształceń, aby maksymalnie uprościć zapis. Wykonujemy więc potęgowanie (pamiętamy o odpowiednim wzorze skróconego mnożenia!) i skracamy $\text{a}$ w drugim ułamku:
$s=v_0 t + \frac{at^2}{2}=\frac{v_0(v-v_0)}{a}+\frac{a(v-v_0)^2}{2a^2}=\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}$
Aby dodać do siebie dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym przypadku wspólnym mianownikiem będzie $2a$, zatem licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy razy $2$, po czym sumujemy ułamki i zapisujemy wynik już na jednej kresce ułamkowej:
$s=\frac{2v_0v-2v_0^2}{2a}+\frac{v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}=\frac{2vv_0-2v_0^2+v^2-2vv_0+v_0^2}{2a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$
Redukujemy wyrazy podobne w liczniku i ostatecznie otrzymujemy:
$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \Bigg|\cdot a$
Po ostatnim etapie przekształceń powinniśmy już uzyskać wzór obliczanie przyspieszenia bez czasu. Stosujemy podobne postępowanie jak wcześniej – mnożymy obustronnie przez $a$, po czym dzielimy przez $s$:
$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \Bigg|\cdot a$
$sa=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Bigg|: s$
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}$
Warto zapamiętać ten wzór na obliczanie przyspieszenia bez czasu, albo przynajmniej wiedzieć, jak go wyprowadzić, ponieważ przydaje się w wielu zadaniach, w których rozważamy ruch jednostajnie przyspieszony.

Pozostało nam jedynie podstawić dane i wykonać obliczenia. Warto podstawiać dane z jednostkami i pamiętać, że wszystkie działania, które wykonujemy na liczbach dotyczą także jednostek:
$a=\frac{\Big(25 \frac{\text{m}}{\text{s}}\Big)^2-\Big(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\Big)^2}{2\cdot 50 \text{m}}=\frac{625 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}-25 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{100\text{m}}=\frac{600 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{100\text{m}}=\underline{6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

Przyspieszenie motorówki wynosiło $6 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.