Droga hamowania

Przekształcenia i zamiana jednostek:
$\frac{v^2-v_0^2}{2s}=\frac{v-v_0}{t} \Bigg| \cdot2ts$
$t(v^2-v_0^2)=2s(v-v_0) \Big| :(v^2-v_0^2)$
$t=\frac{2s(v-v_0)}{(v^2-v_0^2)}$
$t=\frac{2s(v-v_0)}{(v-v_0)(v+v_0)}$
$t=\frac{2s}{v+v_0}$
$v_0=54 \frac{\text{km}}{\text{h}}=54 \cdot \frac{1000 \text{m}}{3600 \text{s}}=15 \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Obliczenia:
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}=\frac{(0\frac{\text{m}}{\text{s}})^2-(15\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2\cdot40\text{m}}=\frac{-225\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{80 \text{m}}=-2,8125 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx\underline{-2,8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$t=\frac{2s}{v+v_0}=\frac{2\cdot 40 \text{m}}{0 \frac{\text{m}}{\text{s}}+15\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{80 \text{m}}{15\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx \underline{5,3 \text{s}}$

Jest to klasyczne zadanie na drogę hamowania. Podana w treści odległość od skrzyżowania to właśnie droga hamowania $s$ (zakładamy, że samochód ma zatrzymać dokładnie przed skrzyżowaniem i nie będą stały przed nim inne auta). Jaki jest charakter ruchu samochodu w trakcie hamowania? Zakładamy, że jest to ruch jednostajnie opóźniony, czyli wartość przyspieszenia (opóźnienie) jest cały czas taka sama. Prędkość, jaką ma samochód w chwili, kiedy kierowca zauważa pomarańczowe światło, to prędkość początkowa $v_0$. Celem hamowania jest tutaj całkowite zatrzymanie samochodu, zatem prędkość końcowa $v$ ma być równa $0 \frac{\text{km}}{\text{h}}$. Mamy więc podane trzy wielkości.
Dane:
$s=40\text{m}$
$v_0=54\frac{\text{km}}{\text{h}}$
$v_k=0\frac{\text{km}}{\text{h}}$
Pytani jesteśmy o dwie wielkości – przyspieszenie $a$ (czasem nazywane opóźnieniem, choć formalnie w fizyce wielkość opisująca tempo zmiany prędkości to zawsze przyspieszenie) oraz czas hamowania $t$.
Szukane:
$a=?$
$t=?$

Jeśli chodzi o opis matematyczny, to bez znaczenia jest to, czy chodzi nam o ruch jednostajnie przyspieszony czy ruch jednostajnie opóźniony. Z fizycznego punktu widzenia oba te przypadki stanowią przykłady ruchu jednostajnie zmiennego. Wzory są w obu przypadkach jednakowe, różnice będą w znakach przy wartościach przyspieszenia lub prędkości, więc kluczem jest ich właściwa interpretacja.
Podstawowy wzór na przyspieszenie to oczywiście
$a=\frac{v-v_0}{t}$,
gdzie $v$ to prędkość końcowa, $v_0$ to prędkość początkowa, a $t$ to czas, w którym nastąpiła zmiana prędkości.
Jeśli jednak spojrzymy na dane i szukane zauważymy, że mamy w tym wzorze dwie dane i dwie szukane. Nie jest to możliwe, aby wyznaczyć dwie niewiadome z jednego wzoru, musimy więc szukać dalej. W schemacie rozwiązania zapisałam wzór na przyspieszenie, w którym nie ma czasu, a zamiast tego jest droga $s$ (w tym przypadku droga hamowania)
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}$
Nie znajduje się on w tablicach maturalnych, ale można go wyprowadzić na podstawie dwóch innych wzorów – podstawowego wzoru na przyspieszenie podanego powyżej oraz wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Całe wyprowadzenie jest rozpisane w rozwiązaniu zadania „Obliczanie przyspieszenia bez podanego czasu” – tam można się z nim zapoznać.
Wiemy już, jak obliczyć przyspieszenie. Drugą szukaną wielkością jest czas hamowania. Można wykorzystać to, że kiedy obliczymy przyspieszenie i będziemy znać jego wartość, po prostu wstawimy je do wzoru na czas wyznaczonego z podstawowego wzoru na przyspieszenie. Chciałabym jednak pokazać, jak obliczyć czas hamowania bazując jedynie na wielkościach danych w treści zadania. Gdyby podobne zadanie pojawiło się na maturze, zapewne miałoby osobne podpunkty dla obliczenia przyspieszenia i czasu hamowania i dobrze jest wiedzieć, że aby obliczyć jedno, nie trzeba znać drugiego.
Wzór na czas hamowania można wyznaczyć na różne sposoby. Ja jako punkt wyjścia wykorzystam dwa wzory na przyspieszenie, które już się wyżej pojawiły
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}$
$a=\frac{v-v_0}{t}$
Lewe strony powyższych wzorów są sobie równe, oba wzory znajdują zastosowanie w ruchu jednostajnie zmiennym, zatem równe muszą być też ich prawe strony.
$\frac{v^2-v_0^2}{2s}=\frac{v-v_0}{t}$
Znamy wartości wszystkich wielkości oprócz czasu. Naszym zadaniem jest wykonanie takich przekształceń, które doprowadzą do wzoru na czas. Po pierwsze możemy pozbyć się mianowników mnożąc równanie obustronnie przez $2st$:
$\frac{v^2-v_0^2}{2s}=\frac{v-v_0}{t} \Bigg| \cdot2ts$
$t(v^2-v_0^2)=2s(v-v_0)$
Następnie pozbywamy się wyrażenia w nawiasie, które stoi przy $t$ po lewej stronie, dzieląc obustronnie przez cały nawias:
$t(v^2-v_0^2)=2s(v-v_0) \Big| :(v^2-v_0^2)$
$t=\frac{2s(v-v_0)}{(v^2-v_0^2)}$
Po lewej stronie mamy już tylko czas – to było naszym celem. Możemy jednak trochę uprościć ułamek po prawej stronie. Jeśli różnicę kwadratów z mianownika rozpiszemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a+b)(a-\text{b})$, to uzyskamy:
$t=\frac{2s(v-v_0)}{(v-v_0)(v+v_0)}=\frac{2s}{v+v_0}$
Tak wygląda wzór na czas hamowania, z którego skorzystamy w obliczeniach.
Na tym etapie możemy jeszcze zwrócić uwagę na jednostki. Prędkość podana jest w $\frac{\text{km}}{\text{h}}$, w tej sytuacji należałoby zamienić jednostki na $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
$v_0=54 \frac{\text{km}}{\text{h}}=54 \cdot \frac{1000 \text{m}}{3600 \text{s}}=15 \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Mamy już wszystko, co jest potrzebne do wykonania obliczeń – dane, wyprowadzone wzory i właściwe jednostki. Najpierw przyspieszenie:
$a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}=\frac{(0\frac{\text{m}}{\text{s}})^2-(15\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2\cdot40\text{m}}=\frac{-225\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{80 \text{m}}=-2,8125 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx\underline{-2,8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
Wynik zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących, bo taką dokładność mają dane. Otrzymaliśmy wartość ujemną, ponieważ prędkość końcowa jest mniejsza od początkowej (samochód zwalnia), zatem $\text{a}$ jest opóźnieniem.
Następnie czas hamowania:
$t=\frac{2s}{v+v_0}=\frac{2\cdot 40 \text{m}}{0 \frac{\text{m}}{\text{s}}+15\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{80 \text{m}}{15\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx \underline{5,3 \text{s}}$
I tu zaokrąglamy wynik na tej samej zasadzie.

Przyspieszenie podczas hamowania ma wartość $-2,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$, natomiast czas hamowania wynosi $5,3\text{s}$.