Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Przekształcenia:
$s=v_0t+ \frac{at^2}{2}=v_0t+\frac{v-v_0}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_0t+\frac{(v-v_0)t}{2}=$
$\frac{2v_0t}{2}+\frac{(v-v_0)t}{2}=\frac{2v_0t+vt-v_0t}{2}=\frac{v_0t+vt}{2}=\frac{(v+v_0)t}{2}$

Obliczenia:
$v_0=45 \frac{\text{km}}{\text{h}}=45\cdot \frac{1000 \text{m}}{3600\text{s}}=12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$
$v=72 \frac{\text{km}}{\text{h}}=72\cdot \frac{1000 \text{m}}{3600\text{s}}=20 \frac{\text{m}}{\text{s}}$
$s=\frac{(20\frac{\text{m}}{\text{s}}+12,5\frac{\text{m}}{\text{s}})\cdot 5 \text{s}}{2}= \underline{81,25 \text{m}}$

W pierwszym kroku wyciągamy z treści zadania istotne informacje, czyli wypisujemy dane i określamy rodzaj ruchu.
Dane:
$v_0=45\frac{\text{km}}{\text{h}}$ – wartość prędkości początkowej
$v=72 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ – wartość prędkości końcowej
$t=5\text{s}$ – czas trwania ruchu z przyspieszeniem
Naszym celem jest obliczenie przebytej przez samochód drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Jak obliczyć drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym? Możemy zacząć od wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
$s=v_0t+\frac{at^2}{2}$
Niestety nie znamy przyspieszenia, wiemy jednak, jak je obliczyć:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t}$
I tu już znamy wszystkie zmienne. Moglibyśmy od razu podstawić dane do wzoru na przyspieszenie, a następnie otrzymany wynik wstawić do wzoru na drogę. Jednak takie postępowanie nie jest najbardziej optymalne. Lepszą metodą jest przekształcenie wzorów tak, aby otrzymać wzór na szukaną wielkość, w którym wszystkie zmienne są dane w treści zadania. W tym przypadku wykorzystujemy wzór na przyspieszenie i podstawiamy jego prawą stronę do wzoru na drogę:
$s=v_0t+ \frac{at^2}{2}=v_0t+\frac{v-v_0}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_0t+\frac{(v-v_0)t}{2}$
Następnie sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, dodajemy i maksymalnie upraszczamy:
$s=\frac{2v_0t}{2}+\frac{(v-v_0)t}{2}=\frac{2v_0t+vt-v_0t}{2}=\frac{v_0t+vt}{2}=\frac{(v+v_0)t}{2}$
Występujące w tym wzorze wyrażenie $\frac{(v+v_0)}{2}$ to wzór na średnią wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym
$v_{śr}=\frac{(v+v_0)}{2}$
Moglibyśmy więc to zadanie rozwiązać również wychodząc z podstawowego wzoru na średnią wartość prędkości
$v_{śr}=\frac{s}{t}$
Następnie, mnożąc go obustronnie przez $t$, otrzymujemy wzór na drogę
$s=v_{śr}t$,
do którego podstawiamy wzór na średnią wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym
$s=\frac{(v+v_0)t}{2}$
Jest to szybszy sposób. Większość uczniów zaczyna od wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, bo taka jest pierwsza myśl. Warto jednak pamiętaj również o tym mniej oczywistym podejściu.

Mamy już wyprowadzony wzór na drogę, możemy więc przystąpić do obliczeń. Uważniejsze spojrzenie na dane powinno nas jednak zatrzymać w tym miejscu – uwaga na jednostki prędkości! Najpierw musimy je ujednolicić. W naszej sytuacji wygodniej będzie zamienić $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ na $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Obliczenia:
$v_0=45 \frac{\text{km}}{\text{h}}=45\cdot \frac{1000 \text{m}}{3600\text{s}}=12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$
$v=72 \frac{\text{km}}{\text{h}}=72\cdot \frac{1000 \text{m}}{3600\text{s}}=20 \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wreszcie możemy podstawić dane i otrzymać wynik:
$s=\frac{(20\frac{\text{m}}{\text{s}}+12,5\frac{\text{m}}{\text{s}})\cdot 5 \text{s}}{2}= \underline{81,25 \text{m}}$

Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym przebyta przez samochód wynosiła $81,25 \text{m}$.