Kinematyka – zestawienie wzorów z objaśnieniami

Poniższe zestawienie jest skrótowym wykazem najważniejszych wielkości fizycznych i wzorów używanych w kinematyce. Każde hasło jest pokrótce opisane, więc jest to trochę więcej niż można znaleźć w tablicach maturalnych, ale bez szczegółowych wyjaśnień, wyprowadzeń czy przykładów. Wzory w kinematyce dotyczą zarówno wielkości skalarnych, jak i wektorowych, na co zwracam szczególną uwagę i co zawsze uwzględniam w zapisie.

Przemieszczenie

Jest to wielkość wektorowa opisująca zmianę położenia ciała, wyrażająca się wzorem
$\Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1$
gdzie
$\overrightarrow{r}_2$ – położenie końcowe
$\overrightarrow{r}_1$ – położenie początkowe

Prędkość

Prędkość jest wielkością wektorową i w ogólności
$\overrightarrow{v}=\dfrac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta t}$ przy $\Delta t \rightarrow0$
Czyli jest to iloraz zmiany położenia przez czas, w którym do niej doszło przy założeniu, że ten czas jest zbliżony do zera (bardzo, bardzo mały, co ładnie się określa jako infinitezymalnie mały).
***
Formalnie rzecz biorąc prędkość jest pochodną z położenia po czasie, co zapisujemy
$\overrightarrow{v}=\dfrac{\text{d}\overrightarrow{r}}{\text{d}t}$
jednak takie podejście wykracza poza zakres materiału realizowany w szkole średniej.

Prędkość średnia

Wielkość wektorowa równa ilorazowi przemieszczenia $\Delta \overrightarrow{r}$ i czasu $\Delta t$, w jakim zaszło.
$\overrightarrow{v}_{śr}=\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta t}$
W tym wzorze $\Delta t$ może być dowolnie duże. Prędkość średnia w tej postaci rzadko występuje w zadaniach.

Średnia wartość prędkości (średnia szybkość)

Wielkość skalarna równa ilorazowi całkowitej drogi $s$ przebytej przez ciało i czasu $t$, w jakim została przebyta
$v_{śr}=\frac{s}{t}$
Jeśli interesuje nas średnia wartość prędkości na jakimś etapie drogi, możemy zapisać
$v_{śr}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$
gdzie $\Delta s$ to długość interesującego nas fragmentu drogi, a $\Delta t$ to czas przebycia tego fragmentu.
To ważne, żeby ten wzór kojarzyć właśnie ze średnią szybkością (a nie chwilową), zwłaszcza rozwiązując zadania z ruchu jednostajnie zmiennego.
Ponieważ droga i przemieszczenie nie zawsze są równe, średnia wartość prędkości (średnia szybkość) nie jest tym samym co wartość średniej prędkości – równość zachodzi tylko w szczególnych przypadkach (jak ruch prostoliniowy bez zawracania).

Droga w ruchu jednostajnym

Ruch jednostajny to ruch, w którym wartość prędkości jest stała, zatem wartość prędkości chwilowej jest równa średniej wartości prędkości i możemy zapisać, że
$v=v_{śr}=\frac{s}{t}$
Po przekształceniu wzoru mamy więc:
$s=vt$
gdzie $v$ to stała wartość prędkości, a $t$ to czas trwania ruchu.
W najbardziej ogólnej postaci
$s=s_0+vt$
gdzie $s_0$ jest początkową drogą, czyli drogą przebytą przez ciało przed chwilą $t=0 \text{s}$. Wzór ten znajduje zastosowanie np. gdy przed etapem ruchu jednostajnego ciało poruszało się w inny sposób i znamy przebytą wtedy drogę, a naszym celem jest obliczenie drogi całkowitej.

Przyspieszenie

Przyspieszenie jest wielkością wektorową informującą o tempie zmiany prędkości w czasie. Z definicji
$\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{ v}}{\Delta t}$ przy $\Delta t \rightarrow 0$.
Prędkość jest wielkością wektorową, zatem zmiana każdej z cech wektora prędkości będzie związana z występowaniem przyspieszenia. Jeśli zmienia się wartość wektora prędkości, mówimy o przyspieszeniu stycznym $a_s$ (ponieważ jest ono zawsze styczne do toru ruchu ciała), którego wartość obliczamy ze wzoru
$a_s=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ przy $\Delta t \rightarrow 0$
gdzie $\Delta v$ to wartość zmiany prędkości. W ruchu prostoliniowym jest to jedyne przyspieszenie, jakie może mieć ciało, dlatego zwykle nie opatrujemy go dodatkowym indeksem.
Jeśli zmienia się kierunek wektora prędkości (ciało zmienia kierunek ruchu, zakręca, czyli ruch jest krzywoliniowy), wtedy mamy do czynienia z przyspieszeniem dośrodkowym $a_d$ (lub normalnym), które jest prostopadłe do przyspieszenia stycznego. Wartość przyspieszenia dośrodkowego w danej chwili obliczamy ze wzoru
$a_d=\frac{v^2}{r}$,
gdzie $v$ to wartość prędkości chwilowej, a $r$ to długość promienia krzywizny toru w danym punkcie.

Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Jeśli chcemy obliczyć wartość prędkości chwilowej $v$ (czyli w danym momencie) w ruchu jednostajnie przyspieszonym, kiedy znamy przyspieszenie, to korzystamy ze wzoru
$v=v_0+at$,
gdzie $v_0$ to wartość prędkości początkowej, $a$ to wartość przyspieszenia ciała, a $t$ to czas trwania ruchu od momentu, gdy ciało miało prędkość o wartości $v_0$.

Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Drogę przebytą przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym obliczamy ze wzoru
$s=v_0t+\frac{at^2}{2}$,
gdzie $v_0$ to wartość prędkości początkowej, $a$ to wartość przyspieszenia, $t$ to czas trwania ruchu, w którym przebyta została droga $s$.
Można się spotkać ze wzorem przedstawionym też w takiej postaci:
$s=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$,
gdzie $s_0$ jest drogą przebytą przez ciało przed chwilą, kiedy zaczęliśmy odmierzać czas, zatem znajduje on zastosowanie w sytuacjach, gdy musimy uwzględnić wcześniejszy etap ruchu.