Wektory

Wektory są obiektami matematycznymi, które pełnią bardzo ważną rolę w fizyce. Wielkości fizyczne poznawane w szkole średniej dzielą się na dwa rodzaje – skalarne i wektorowe. Wielkości skalarne mają tylko wartość (zazwyczaj z odpowiednią jednostką). Wielkości wektorowe oprócz wartości, mają też kierunek i zwrot. W przypadku niektórych z nich ważny jest też tzw. punkt przyłożenia. Z tego wpisu dowiesz się, czym jest wektor oraz jak wygląda jego reprezentacja graficzna, nauczysz się rozkładać wektory na składowe, obliczać ich długość, dodawać i odejmować wektory oraz mnożyć wektor przez skalar.

Czym jest wektor?

Wektor to odcinek skierowany – odcinek to fragment prostej między dwoma punktami, a określenie „skierowany” oznacza, że ma początek i koniec. Graficznie przedstawiamy go jako strzałkę zakończoną z jednej strony grotem. Podpisujemy literą z symboliczną strzałką skierowaną w prawo nad literą. Ten zapis to tylko symbol, więc nie ma nic wspólnego z tym, jak w rzeczywistości skierowany jest wektor.

Poniżej narysowany jest wektor $\overrightarrow{a}$ w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych. Ma on początek w punkcie $(1,2)$ i koniec w punkcie $(5,4)$.

Cechy wektora

Jak zostało wspomniane na początku wpisu wektor ma wartość, kierunek i zwrot. Wartość odpowiada jego długości w reprezentacji graficznej. Kierunek to prosta, na której leży wektor. Wzdłuż każdej prostej można skierować się w dwie strony i o tym, w którą stronę zwrócony jest wektor informuje jego zwrot.

Jedną z wielkości wektorowych jest prędkość. Jeśli poruszam się z prędkością $50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ na północ, to wartość wektora prędkości to właśnie $50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$, kierunek to prosta północ-południe, a zwrot wskazuje północ.

Składowe wektora

Kiedy rozważamy wektor w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych i nie jest on skierowany równolegle do jednej z osi układu, wtedy możemy go przedstawić jako przekątną prostokąta, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Zawsze istnieje tylko jeden taki prostokąt. Jeśli z boków tego prostokąta zrobimy wektory, to otrzymamy w ten sposób składowe wektora – jedną równoległą do osi $x$, drugą równoległą do osi $y$.

Przykład takiego postępowania został przedstawiony na poniższym rysunku. Wektor $\overrightarrow{a}$ stanowi przekątną prostokąta o bokach długości 4 jednostek i 2 jednostek. Bok o długości 4 jednostek jest równoległy do osi $x$, więc jest składową $x$-ową wektora $\overrightarrow{a}$ – nazywamy ją $\overrightarrow{a}_x$. Bok o długości 2 jednostek jest równoległy do osi $y$, więc jest składową $y$-ową wektora $\overrightarrow{a}$ – nazywamy ją $\overrightarrow{a}_y$.

Znajomość wartości składowych wektora pozwala zapisać go przy ich pomocy. Istnieje kilka sposobów zapisu wektorów, jeden z nich wygląda następująco:
$\overrightarrow{a}=[a_x;a_y]$,
gdzie $a_x$ to wartość (długość) składowej $x$-owej wektora $\overrightarrow{a}$, natomiast $a_y$ to wartość (długość) jego składowej $y$-owej (zapisujemy je zawsze w takiej kolejności). Rozdzielanie średnikiem jest czytelniejsze, jeśli składowe nie są liczbami całkowitymi, ale jeśli użyjemy przecinka przy składowych całkowitych, też nie będzie to błędem. Nawias kwadratowy pozwala odróżnić wektor od punktu, którego współrzędne wpisujemy w nawiasie okrągłym.
Dla wektora z powyższego rysunku mamy zatem:
$\overrightarrow{a}=[4;2]$.
Jeśli składowa ma zwrot zgodny ze zwrotem osi układu współrzędnych, zapisujemy ją jako dodatnią (jak w przypadku obu składowych w powyższym przykładzie). Jeśli natomiast jej zwrot jest przeciwny, wtedy zapisujemy ją ze znakiem minus.

Składowa $x$-owa jest dodatnia, gdy wektor skierowany jest w prawo, a ujemna, gdy skierowany jest w lewo. Składowa $y$-owa jest dodatnia, gdy wektor skierowany jest w górę, a ujemna, gdy skierowany jest w dół. Jeśli wektor skierowany jest równolegle do osi $y$ (czyli ani w lewo, ani w prawo), wtedy składowa $x$-owa jest równa 0, a jeśli skierowany jest równolegle do osi $x$ (czyli ani w górę, ani w dół), wtedy składowa $y$-owa jest równa 0.

Wektor $\overrightarrow{b}$ z rysunku powyżej jest przekątną prostokąta o bokach długości 2 jednostek i 3 jednostek. Skierowany jest w prawo i w dół – w stronę rosnących wartości względem osi $x$, ale w stronę malejących wartości względem osi $y$. Dlatego też zapiszemy go $\overrightarrow{b}=[2;-3]$.

Dodawanie wektorów

Wektory możemy do siebie dodawać, ale różni się to od dodawania liczb ze względu na to, że oprócz wartości wektory mają też kierunek i zwrot. Najpierw zajmiemy się graficznym dodawaniem wektorów. Najbardziej uniwersalną graficzną metodą dodawania wektorów jest metoda wieloboku, która w przypadku dodawania dwóch wektorów sprowadza się do metody trójkąta. W szkole często podaje się uczniom metodę równoległoboku, którą można zastosować tylko dla dwóch wektorów, ale może być łatwiejsza do użycia w przypadku wektorów mających początki w tym samym punkcie.

W poniższych przykładach wyjaśniam też, jak dodawać wektory w zapisie algebraicznym, znając jedynie wartości ich składowych.

Metoda trójkąta – dodawanie dwóch wektorów

Dodajmy teraz wektory $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$, które wcześniej opisaliśmy. Aby zaprezentować dodawanie w sposób graficzny, umieśćmy oba wektory w jednym układzie współrzędnych.

Chcemy otrzymać wektor $\overrightarrow{c}$, który stanowi sumę wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.
Pierwszy etap polega na przesunięciu równoległym wektora $\overrightarrow{b}$ w taki sposób, aby jego początek znajdował się w punkcie, w którym kończy się wektor $\overrightarrow{a}$. Przesunięcie równoległe oznacza, że nie zmienia się długość wektora, ani jego składowe, a jedynie punkty początku i końca.

Teraz wystarczy połączyć początek wektora $\overrightarrow{a}$ z końcem wektora $\overrightarrow{b}$ i w ten sposób powstaje wektor $\overrightarrow{c}$.

Zauważmy, że zapisując wektor $\overrightarrow{c}$ przy pomocy składowych mamy $\overrightarrow{c}=[6;-1]$. Poszczególne jego składowe są zwykłymi sumami algebraicznymi odpowiednich składowych wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=[4;2]+[2;-3]=[4+2;2+(-3)]=[6;-1]$
Tak będzie w dowolnym przypadku sumowania wektorów – składowe wektora wynikowego stanowią sumy odpowiednich składowych wektorów sumowanych:
$c_x=a_x+b_x$
$c_y=a_y+b_y$

Dodawanie trzech i więcej wektorów – metoda wieloboku

Powyższy sposób postępowania przy dodawaniu wektorów można uogólnić dla dowolnej liczby wektorów. Wprowadźmy wektor $\overrightarrow{d}=[-1;-1]$ i wyznaczmy wektor $\overrightarrow{e}$ będący sumą
$\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$.

Sposób postępowania jest analogiczny jak poprzednio, tylko należy go poszerzyć o trzeci wektor. Najpierw przesuwamy wektor $\overrightarrow{b}$ tak, by jego początek znajdował się w punkcie, w którym kończy się wektor $\overrightarrow{a}$, następnie przesuwamy wektor $\overrightarrow{d}$ tak, by jego początek znajdował się w punkcie, w którym kończy się wektor $\overrightarrow{b}$. Przy większej liczbie wektorów po prostu przesuwamy je po kolei tak, by początek następnego umieścić w tym samym punkcie, co koniec poprzedniego. Łącząc początek pierwszego wektora z sumy z końcem ostatniego wektora otrzymujemy wektor wynikowy.

Jak to wygląda jeśli chodzi o składowe?
$e_x=a_x+b_x+d_x=4+2+(-1)=5$
$e_y=a_y+b_y+d_y=2+(-3)+(-1)=-2$
Zatem
$\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=[4;2]+[2;-3]+[-1;-1]=[5;-2]$

Metoda równoległoboku

Jeśli naszym celem jest dodanie dwóch wektorów, możemy też skorzystać z metody równoległoboku. Może być to wygodne zwłaszcza w tych przypadkach, kiedy oba wektory mają wspólny punkt zaczepienia (na przykład, kiedy dodajemy wektory sił przyłożonych w jednym punkcie).
Zastosujemy tę metodę dla sumy wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$. Wynik nie powinien zależeć od metody, zatem powinniśmy otrzymać taki sam wektor $\overrightarrow{c}$, jak wcześniej. Zaczynamy od narysowania obu wektorów tak, aby ich początki były w tym samym punkcie. Następnie konstruujemy równoległobok, którego boki będą wyznaczane przez nasze wektory. Wektor będący sumą wyznacza przekątna równoległoboku, a jego początek pokrywa się z punktem będącym początkiem obu wektorów sumy.

Wektor przeciwny

Zanim przejdziemy do odejmowania wektorów, wprowadzimy pojęcie wektora przeciwnego. Jeśli mamy wektor $\overrightarrow{a}$, to wektorem przeciwnym nazywamy wektor $-\overrightarrow{a}$, który ma taką samą długość i kierunek, ale różni się zwrotem. W praktyce wygląda to tak, że musimy zamienić miejscami początek i koniec wektora, aby otrzymać wektor przeciwny.

Składowe wektora przeciwnego są liczbami przeciwnymi do składowych wektora, czyli
$-\overrightarrow{a}=[-a_x;-a_y]$
Jeśli dodamy do wektora jego wektor przeciwny, otrzymamy wektor zerowy:
$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=[a_x+(-a_x);a_y+(-a_y)]=[0;0]=\overrightarrow{0}$

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie wektora sprowadza się do dodania wektora przeciwnego. Na przykład, jeśli chcemy wyznaczyć wektor $\overrightarrow{f}$ będący różnicą wektorów $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, wykonujemy działanie:
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$
W pierwszym kroku konstruujemy więc wektor przeciwny do wektora $\overrightarrow{b}$, a następnie dodajemy go do wektora $\overrightarrow{a}$ w taki sam sposób, jak poprzednio.

Własności dodawania wektorów

• Dodawanie wektorów jest przemienne. Oznacza to, że możemy zmieniać kolejność składników sumy i nie wpływa to na wynik. Na przykład:
  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}$ i inne możliwe kombinacje.
• Dodawanie wektorów jest łączne. Oznacza to, że możemy dowolnie grupować składniki sumy. Na przykład:
  $\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$
• Suma wektora i wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy czyli taki, którego wszystkie składowe są równe 0:
  $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}=[0;0]$

Długość wektora

Jeśli znamy składowe wektora, możemy obliczyć jego długość (w przypadku wielkości wektorowych długość wektora odpowiada ich wartości). Weźmy wektor $\overrightarrow{a}=[4;2]$. Możemy zauważyć, że wektor i jego składowe tworzą trójkąt prostokątny, w którym składowe są przyprostokątnymi, a sam wektor przeciwprostokątną.

Aby obliczyć jego długość, wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Przyjmijmy taką zasadę, że wartość wektora zapisujemy jako jego nazwę bez strzałki ponad nią. Czyli wartość wektora $\overrightarrow{a}$ oznaczymy po prostu jako $a$.
W przypadku naszego wektora z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$a^2 =a_x^2+a_y^2$
Jeśli powyższe równanie obustronnie spierwiastkujemy, otrzymamy wzór na długość wektora:
$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$
Jest to wzór ogólny na długość dowolnego dwuwymiarowego wektora. Gdyby wektor miał trzy składowe, pod pierwiastkiem należałoby dodać kwadrat trzeciej składowej.
Po podstawieniu wartości:
$a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47$

Mnożenie wektora przez skalar

Możliwe jest mnożenie wektora przez skalar, czyli przez dowolną liczbę rzeczywistą. Nie wpływa to na kierunek wektora, ale może wpłynąć na wartość i zwrot. Mnożenie wektora przez skalar sprowadza się do pomnożenia przez tę liczbę wszystkich składowych wektora, czyli:
$m \cdot \overrightarrow{a}=[m\cdot a_x; m \cdot a_y]$,
gdzie $m$ to dowolna liczba rzeczywista (co zapisujemy $m \in \mathbb{R}$).
Jeśli $|m| >1$, wtedy dostajemy wektor $m$ razy dłuższy ($|m|$ oznacza wartość bezwzględną z $m$). Jeśli $|m|<1$, wtedy otrzymujemy wektor krótszy. Jeśli $m>0$, zwrot wektora się nie zmienia, a jeśli $m<0$, wtedy zwrot zmienia się na przeciwny. Mnożenie przez 1 nie zmienia wektora, a mnożenie przez 0 standardowo daje też 0.

Na powyższym rysunku widzimy wektor $\overrightarrow{a}$ i trzy wektory powstałe przez pomnożenie go przez różne liczby.
$\overrightarrow{a}=[4;2]$
$2\overrightarrow{a}=[2\cdot 4; 2\cdot 2]=[8;4]$
$-1,5 \overrightarrow{a}=[-1,5 \cdot 4; -1,5 \cdot 2]=[-6,-3]$
$0,5\overrightarrow{a}=[0,5 \cdot 4;0,5 \cdot 2]=[2;1]$

Zastosowania wektorów

Jak wspomniałam we wstępie, wektory są w fizyce bardzo przydatne i wiele wielkości fizycznych ma naturę wektorową, czyli aby je w pełni opisać nie wystarcza sama wartość (z jednostką), ale konieczna jest też informacja o kierunku i zwrocie. Wielkościami wektorowymi są na przykład położenie, prędkość, przyspieszenie, pęd, siła, moment pędu, natężenie pola elektrycznego, polaryzacja fali elektromagnetycznej. To ważne, aby zawsze mieć świadomość, czy mamy do czynienia z wielkością wektorową, aby nie popełnić błędu na przykład przy dodawaniu i zastosować dodawanie wektorowe, a nie tylko zsumować wartości.
Zaprezentowane tutaj zagadnienia nie wyczerpują w pełni tematu. O mnożeniu wektorów (wektor razy wektor) możesz przeczytać w innym wpisie.

Jeśli chcesz poćwiczyć zaprezentowane tutaj zagadnienia, przejdź do wpisów z zadaniami: „Obliczanie długości wektora”