||

Prędkość średnia – równe czasy

PrzezEmilia

Treść zadania

Bazyli płynie motorówką po jeziorze. Najpierw przez pewien czas oddala się od brzegu z prędkością 15kmh15 \frac{\text{km}}{\text{h}}. Potem, przez tyle samo czasu, płynie z prędkością 35kmh35 \frac{\text{km}}{\text{h}}. Oblicz, jaka jest średnia wartość prędkości Bazylego w opisanej sytuacji.

Rysunek motorówki do zilustrowania zadania Prędkość średnia - równe czasy

Potrzebujesz pomocy?

Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne
Podsumowanie kinematyki

Schemat rozwiązania

Wyświetl schemat rozwiązania

Dane:
t1=t2=12tt_1 = t_2 = \frac{1}{2}t
v1=15kmhv_1=15 \frac{\text{km}}{\text{h}}
v2=35kmhv_2=35 \frac{\text{km}}{\text{h}}

Szukane:
vsˊr=?v_{śr}=?

Wzory:
vsˊr=stv_{śr}=\frac{s}{t}


Przekształcenia:
s=s1+s2=v1t1+v2t2=v1⋅12t+v2⋅12t=12t(v1+v2)s=s_1+s_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2=v_1 \cdot \frac{1}{2}t+v_2 \cdot \frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t\big(v_1+v_2\big)
vsˊr=12t(v1+v2)t=v1+v22v_{śr}=\frac{\frac{1}{2}t\big(v_1+v_2\big)}{t}=\frac{v_1+v_2}{2}

Obliczenia:
vsˊr=15kmh+35kmh2=25kmhv_{śr}=\frac{15 \frac{\text{km}}{\text{h}} +35 \frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}= \underline{25 \frac{\text{km}}{\text{h}}}

Rozwiązanie z komentarzem

1. krok – dane i szukane

Wyświetl 1. krok

Jak wynika z treści zadania możemy wyróżnić dwa etapy trwające tyle samo czasu, ale nie wiemy ile. Znane są nam jedynie wartości prędkości w obu etapach. Możemy to zapisać w danych w następujący sposób:
Dane:
t1=t2=12tt_1 = t_2 = \frac{1}{2}t
v1=15kmhv_1=15 \frac{\text{km}}{\text{h}}
v2=35kmhv_2=35 \frac{\text{km}}{\text{h}}

Naszym celem jest obliczenie średniej wartości prędkości vsˊrv_{śr} na całej trasie.

2. krok – wyprowadzenie wzoru (prędkość średnia – równe czasy)

Wyświetl 2. krok

Z definicji
vsˊr=stv_{śr}=\frac{s}{t},
gdzie ss to całkowita droga, a tt to całkowity czas. Nie znamy żadnej z tych wielkości, wiemy jedynie o równym czasie trwania obu etapów. O drodze nie wiemy nic, spróbujmy więc wyrazić ją przez czasy i prędkości.
s=s1+s2=v1t1+v2t2=v1⋅12t+v2⋅12t=12t(v1+v2)s=s_1+s_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2=v_1 \cdot \frac{1}{2}t+v_2 \cdot \frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t\big(v_1+v_2\big)
Podstawiając końcowe wyrażenie do wzoru na średnią wartość prędkości otrzymujemy
vsˊr=12t(v1+v2)t=v1+v22v_{śr}=\frac{\frac{1}{2}t\big(v_1+v_2\big)}{t}=\frac{v_1+v_2}{2}
Widzimy, że czas się skrócił, więc dokładna informacja o nim nie jest potrzebna. Otrzymany wzór to zwykły wzór na średnią arytmetyczną. Jest to więc szczególny przypadek, w którym faktycznie średnia wartość prędkości jest właśnie średnią arytmetyczną – możemy z niego korzystać tylko wtedy, gdy etapy trwają tyle samo czasu.

3. krok – obliczenia

Wyświetl 3. krok

Ostatecznie podstawiamy dane i wykonujemy obliczenia
vśr=15kmh+35kmh2=25kmhv_{\text{śr}}=\frac{15 \frac{\text{km}}{\text{h}} +35 \frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}= 25 \frac{\text{km}}{\text{h}}

Odpowiedź

Wyświetl odpowiedź

Średnia wartość prędkości Bazylego na całej trasie wynosi 25kmh25 \frac{\text{km}}{\text{h}}.

Dla dociekliwych

  • Chociaż w powyższym zadaniu średnia wartość prędkości sprowadza się do średniej arytmetycznej, nie stosuj tego jako reguły – to szczególna sytuacja, kiedy trasa podzielona jest na etapy o równym czasie trwania. Otrzymany wzór można uogólnić na dowolną liczbę etapów, o ile każdy z nich ma taki sam czas, wtedy będzie to średnia z odpowiednio trzech, czterech, pięciu czy więcej wartości prędkości.
    Średnia wartość prędkości nadal sprawia Ci kłopoty? Zobacz też inne zadania dotyczące tego zagadnienia:
  • Prędkości rozwijane przez Bazylego nie są jakieś wyjątkowo duże dla łodzi motorowych. Dużo zależy od typu motorówki oraz warunków, ale łodzie stosowane rekreacyjnie są w stanie osiągać nawet 60kmh60 \frac{\text{km}}{\text{h}}. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę modele sportowe, to ich maksymalne prędkości dochodzą nawet do 200kmh200 \frac{\text{km}}{\text{h}} [źródło].

Podstawa programowa

Wymagania szczegółowe. Uczeń:

  • I. 1) przedstawia jednostki wielkości fizycznych, opisuje ich związki z jednostkami podstawowymi; przelicza wielokrotności i podwielokrotności;
  • I. 4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując się kalkulatorem;
  • II. 3) opisuje ruchy prostoliniowe jednostajne i jednostajnie zmienne, posługując się zależnościami położenia, wartości prędkości oraz drogi od czasu.

Coś się zaciekawiło? A może widzisz błąd? Potrzebujesz czegoś więcej? Daj znać w komentarzu. Ta strona wciąż się rozwija.

Podobne wpisy

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *