Prędkość średnia z dwóch etapów

Przekształcenia:
$t=t_1+t_2 = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}=\frac{\frac{1}{2}s}{v_1}+\frac{\frac{1}{2}s}{v_2}=\frac{1}{2}s\Big(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\Big)$
$v_{śr}=\frac{s}{\frac{1}{2}s\Big(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\Big)}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2}{\frac{v_2}{v_1v_2}+\frac{v_1}{v_1v_2}}=\frac{2}{\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Obliczenia:
$v_{śr}=\frac{2\cdot 20 \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 14 \frac{\text{km}}{\text{h}}}{20 \frac{\text{km}}{\text{h}}+14 \frac{\text{km}}{\text{h}}}= \underline{16,5 \frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Jak wynika z treści zadania trasa dzieli się na dwa odcinki równej długości. Znane są nam jedynie wartości prędkości na obu etapach, nie znamy ich konkretnej długości. Możemy to zapisać w danych w następujący sposób:
Dane:
$s_1 = s_2 = \frac{1}{2}s$
$v_1=20 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
$v_2=14 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Naszym celem jest natomiast obliczenie średniej wartości prędkości $v_{śr}$ na całej trasie.
Szukane:
$v_{śr}=?$

Z definicji wzór na średnią wartość prędkości
$v_{śr}=\frac{s}{t}$,
gdzie $s$ to całkowita droga, a $t$ to całkowity czas. Nie znamy żadnej z tych wielkości, ale na temat drogi wiemy przynajmniej, że dzieli się na dwa równe odcinki. O czasie nie wiemy nic, spróbujmy go więc wyrazić przez drogi i prędkości.
$t=t_1+t_2 = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}=\frac{\frac{1}{2}s}{v_1}+\frac{\frac{1}{2}s}{v_2}=\frac{1}{2}s\Big(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\Big)$
Podstawiając to do wzoru na średnią wartość prędkości otrzymujemy
$v_{śr}=\frac{s}{\frac{1}{2}s\Big(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\Big)}$
Tym sposobem możemy skrócić drogę – nie musimy więc znać jej długości. Jeśli poświęcimy chwilę, żeby przekształcić otrzymany wzór na średnią wartość prędkości, możemy ułatwić sobie obliczenia. W tym celu ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika, aby móc je dodać i pozbyć się ułamków w ułamku:
$v_{śr}=\frac{s}{\frac{1}{2}s\Big(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\Big)}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2}{\frac{v_2}{v_1v_2}+\frac{v_1}{v_1v_2}}=\frac{2}{\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Podstawiamy dane i wykonujemy obliczenia
$v_{śr}=\frac{2\cdot 20 \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 14 \frac{\text{km}}{\text{h}}}{20 \frac{\text{km}}{\text{h}}+14 \frac{\text{km}}{\text{h}}}= 16,5 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

Średnia prędkość Róży i Bazylego na całej trasie (prędkość średnia z dwóch etapów) ma wartość $16,5 \frac{\text{km}}{\text{h}}$.