Prędkość średnia z trzech etapów

Przekształcenia:
$s = s_1+s_2+s_3$
$t=t_1+t_2+t_3$
$t_1=\frac{s_1}{v_1}$
$t_2=\frac{s_2}{v_2}$
$t_3=\frac{s_3}{v_3}$
$v_{śr}=\frac{s_1+s_2+s_3}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}}$

Obliczenia:
$v_{śr}=\frac{1,3 \text{km}+2,8\text{km}+0,9\text{km}}{\frac{1,3\text{km}}{50\frac{\text{km}}{\text{h}}}+\frac{2,8\text{km}}{80\frac{\text{km}}{\text{h}}}+\frac{0,9\text{km}}{40\frac{\text{km}}{\text{h}}}} \approx \underline{60\frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Najpierw uporządkujmy dane. Mamy trzy etapy ruchu, zatem posłużymy się indeksami 1, 2, 3 w celu ich odróżnienia.
Dane:
$s_1 = 1,3 \text{km}$
$v_1=50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
$s_2 = 2,8 \text{km}$
$v_2=80 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
$s_3 = 900 \text{m}=0,9 \text{km}$ / zamieniamy metry na kilometry, aby ujednolicić jednostki
$v_3=40 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Na interesuje to, jaka jest średnia wartość prędkości $v_{\text{śr}}$ na całej trasie.

Skorzystamy ze wzoru na średnią wartość prędkości:
$v_{śr}=\frac{s}{t}$,
gdzie $s$ to całkowita droga, a $t$ to całkowity czas. Zajmijmy się najpierw obliczeniem całkowitej drogi. W opisanej sytuacji jest to proste – to zwykła suma długości wszystkich etapów:
$s = s_1+s_2+s_3$
Podobnie jest z czasem:
$t=t_1+t_2+t_3$
Problem w tym, że my nie znamy czasów trwania poszczególnych etapów. Każdy z nich możemy jednak wyrazić przez dozwoloną prędkość i długość etapu:
$t_1=\frac{s_1}{v_1}$
$t_2=\frac{s_2}{v_2}$
$t_3=\frac{s_3}{v_3}$
Podstawiając wszystko razem do wzoru na średnią wartość prędkości otrzymujemy:
$v_{śr}=\frac{s_1+s_2+s_3}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}}$
Jest to końcowy wzór, zawiera tylko dane wielkości i nie da się go bardziej uprościć.

Mamy już wzór i dane wszystkie wielkości, które w nim występują, możemy zatem zabrać się za obliczenia.
$v_{śr}=\frac{1,3 \text{km}+2,8\text{km}+0,9\text{km}}{\frac{1,3\text{km}}{50\frac{\text{km}}{\text{h}}}+\frac{2,8\text{km}}{80\frac{\text{km}}{\text{h}}}+\frac{0,9\text{km}}{40\frac{\text{km}}{\text{h}}}} \approx \underline{60\frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Średnia wartość prędkości na całej trasie wynosiłaby $60 \frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Pierwszą myślą w takiej sytuacji może być obliczenie średniej arytmetycznej z trzech podanych prędkości. Nie jest to jednak właściwe postępowanie, choć w pewnych szczególnych sytuacjach może prowadzić do poprawnego wyniku. Aby lepiej zrozumieć to zagadnienie sprawdź też inne zadania z prędkości średniej:

• Prędkość średnia z dwóch etapów
• Prędkość średnia – równe czasy